Асимптотичні властивості методу емпіричних середніх для стаціонарних випадкових процесів та однорідних випадкових полів

DOI: 10.31673/2412-4338.2019.014654

Анотація

Одним з підходів, що використовується в системному аналізі при прийнятті оптимальних рішень за умов ризику та невизначеності, є стохастичне програмування, яке дозволяє враховувати ймовірнісний характер досліджуваних процесів.
При розв’язанні задач стохастичного програмування не завжди можливо знайти точний екстремум математичного сподівання деяких випадкових функцій, що робить актуальним метод емпіричних середніх, який є одним з підходів, що дозволяє розв’язати вказану проблему і полягає в заміні оціночної функції її емпіричною оцінкою, для якої розв’язується наближена оптимізаційна задача. При цьому умови збіжності істотно залежать від оціночної функції, ймовірнісних властивостей спостережень випадкових об’єктів, метрики просторів, для яких досліджується збіжність, апріорних обмежень на невідомі параметри тощо. В термінології теорії оптимальних рішень ці питання тісно пов’язані з асимптотичними властивостями оцінок невідомих параметрів: конзистентністю, асимптотичним розподілом, швидкістю збіжності оцінок тощо.
Чимало задач математичної статистики (оцінювання невідомого параметра за критеріями найменшого квадратичного тощо) можуть бути сформульовані як спеціальні задачі стохастичного програмування зі специфічними обмеженнями на невідомий параметр, підкреслюючи тісний зв’язок між стохастичним програмуванням та методами теорії оцінювання.
У статті розглядається якість емпіричної оцінки невідомих параметрів стаціонарних випадкових процесів та однорідних випадкових полів, для яких виконуються умови ергодичності або строго перемішування. Сформульований ряд тверджень про конзистентність, асимптотичний розподіл та великі відхилення оцінок невідомого параметра, отриманих методом емпіричних середніх для незалежних та слабко залежних спостережень.

Ключові слова: метод емпіричних середніх, асимптотичні властивості, конзистентність, оцінка, великі відхилення, оціночна функція.